06：学术
【摘要】排列组合对于高中学生来说一直是学习的难点，教师也普遍反映在教学排列组合的时候很难用简洁明了的语言把要点阐释清楚，因此学生在考试的时候往往会失分很多。学生在学习排列组合时遇到的学习障碍不仅在这一模块失分，还会严重影响到学生的学习数学的信心，因此教师必须对学生学习排列组合时遇到的各种问题加以整理，并针对性提出解决策略和方法，帮助学生克服这一学习难点，希望以此来提升高中数学教学质量。
【关键词】排列 组合
学习排列组合使人思维严谨，更具有逻辑性。排列组合在高中数学中其有很重要的地位，在其它学科也有很重要的应用，如物理化学，生物及计算机科学、编码及密码学均有重要作用。我们高三最近学习排列组合，学会数学思维和方法是很重要的。排列组合的思维方法是解决其他有关的数学问题的一个很好的借鉴。
一、排到、组合教学体会，新教材调整了教学内容的顺序，加强认识结构层次性，先学习概念及符号表示，其次是方法分布和分类计算原理，对于高中生应按照认知心理学家加涅认为的由简单到复杂的学习和练习形成良好的认知结构。
二、高中生应学会的常见题型与解题思路。
题型一：特殊优先法，此类题型针对题目中有特殊的位置、特殊的元素时，我们要优先安排这些元素和这些位置，没有任何要求的位置或元素我们全排列即可。
例如，由0、1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的五位数奇数。
分析：要构成一个奇数，末位必须放奇数，因此末位就是特殊位置。优先给末位安排数字，我们可以从1、3、5这三个奇数中任选一个数字（假如取了3放到末位），则共有3种不同的结果。其次是首位也很特殊，因为首位不能放0这个数字，可以从剩余的非零数1、2、4、5中任选取一个放入首位（假如放入2），则有4种不同的结果。其余的三个位置可以从剩余的四位数字0、1、4、5中任意选出3个排列共4x3x2=24种不同排法，综上符合题意的五位数奇数共有3x4x24=288个。
题型二：捆绑法，此类题型针对元素相邻问题，即把要相邻的几个元素捆在一起看作一个大元素后全排列。（注：大元素内部要全排列）
例如：展出10幅不同的画，其中一幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一列，要求同一品类在一起，且水彩画不在两端，排列方式有多少种？
分析：题目要求同一品类的画放在一起，所把4幅油画捆一起构成油画组，5幅国画捆在一起构成国画组，水彩画只有一幅构成水彩画组，这样就成了三个大元素了。题中要求水彩画不排两端所只能排中间，即油画组、水彩画组、国画组或者是国画组、水彩画组、油画组共有这两种排法。当然油画组中的4幅油画可以全排列是4！种排法，同理国画组中的5幅画也可内部全排到5种排法，综上共有4！x5！x2！=5760种不同的排法。
题型三、插空法，针对元素不相邻问题，先排可相邻的n个元素。若这n个元素完全相同就一种排法；若这n个元素各不相同则有n个元素全排列种不同的排法，再把不相邻的m个元素插入上面n+1个空隙中，当然这m个元素也要分相同还是不同，结果是不同的。
题型四、倍缩法和逐次插力法，排列n个元素时，其中部分元素的顺序是固定的，就用这种方法特别好使。
例如，7人站成一排，甲在乙的左边，乙在丙的左边，三人顺序固定共有多少种排法。若甲乙丙没有任何要求共有7！种不同排法，但现在只要甲乙丙三个全排列中的一种即可，所以是7！/3！。当然也可以逐次插入法把确定顺序的元素排好，甲乙丙排好后就有四个空位，剩余的元素逐个插入每次插入后带来的任意一个空位中，共有4x5x6x7种排法。
题型五、求幂法，针对解决可重复排问题，每个元素都有独立选择的能力。例如，把6以分配到7个场地工作共有多少种分法？首先弄明白的是型每个人可以独立选场地，别人选过的还可以再选，所以共有76种方法。
题型六、隔板法，元素都相同时的分配问题用比方法。比如n个元素分成m份，每份至少一个元素，就得用m-1个隔板插入n一个空隙中，这样就把n个元素分成m份。例x+y+z+w=100的正整数解共有多少种不同解？其实就是把100个1分成4份，共有多少种不同的分法。所以就是99个空插入3个板，即 种不同方法。
题型七、除法策略，针对平均分组、部分平均分组和非平均分组分配问题。因为分成几组不排列，也就与顺序无关，但是平均分组看似分组实则已排序。比如，ABCD四个字母分成1个、1个，2个三组，若是
其中 是排列，也就是A、B、CD这种分法与B、A、CD这种分法重复了，这两种只能并一种，所以正确答案是 。
题型八，大元素法，常见的涂色问题用此方法，把可以涂同种颜色的两部分成区间看成大元素，然后从是否涂一种颜色进行分类讨论，分为大元素，用一种颜色涂和两种颜色去涂。例如将一个四棱锥P-ABCD的每个顶点涂色，一条棱上的两个端点异色，只有5种不同的颜色供使用，不同的涂色方法有多少种？我们知道A、C两顶点可以涂同一种颜色，也可以涂两种不同的颜色，B、D两顶点也是如此，A、C组成一个大元素，B、D也组成一个大元素，接下来分类讨论为：①A、C涂相同颜色，B、D也涂相同颜色，P涂一种颜色，共有5x4x3=60种涂法。②A、C涂相同的颜色，B、D涂另两种不相同的颜色，P独立涂一种，共有5x4x3x2=120种涂法。③A、C涂两种不同颜色，B、D涂另两种不同颜色，p独立一种，共有 =5x4x3x2x1=120种涂法。④A、C涂不同的两种颜色，B、D涂相同品一种颜色，P涂一种颜色，共有5x4x3x2=120。所以共有60+3x120=420种不同的涂法。
题型九、合理分类法，针对解决全能人才问题，以全能人才选取个数分类。不如我们举例说明吧！
例如，现有10名演员，其中8人会唱歌，5人会跳舞，此时要演一个2人唱歌，2人跳舞的节目，有多少种排法？
分析：8+5>10人，说明有8+5-10=3人既会唱歌又会跳舞的全能人才，只会唱歌有5人，只会跳舞的2人，分类讨论如下：
①3个全能人才中选2人去唱歌，剩余的1人把他当作只会跳舞的人，此时会跳舞的人就是3人共有3x3=9种不同的排法。
②3个全能人才中选1人去唱歌，剩余的2人把他们当作只会跳舞的人，此时会跳舞的人就成了4人，共有90种不同的排法。
③3个全转人才中选0人去唱歌，也就是3名全能人才都当成只会跳舞的人，此时会跳舞的人成了5人，共有100种不同的排法。
综上，由分类计数原理共有9+90+100=199种不同的排法。
排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低。加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差,学生对技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次。加强了该单元认知结构的层级性。知结构的稳定性运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一。因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们。学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者和合作者。在整个教学过程中，老师多次鼓励学生自己去发现，自己去思考，自己找到最好的解决办法，这样不但激发了学生学习的积极性，激活了学生的思维，还让学生最大限度的参与到了探索新知识的教学过程中，培养学生的创新思维。
【参考文献】
1.一道排列组合题的推广[J].颜志华课程教育研究：外语学法教法研究.2018，第031期
2.巧解排列组合题[J].郑惠敏.文理导航(中旬).2016，第007期
3.解答排列组合题型的几种方法及适用条件探究[J].蒋宇涵.数理化解题研究：高中版.2017，第007期